由比特币已实现价格进行的一些推理
本文首先介绍了一些比特币早期价格的历史；接着分析了比特币对数价格（\(logP\)）与对数供给量（\(logS\)）可能的一些回归关系；然后总结了历史上的3次减半规律；进而对总结的规律进行极值建模；最后运用汇总的规律及构建的模型，对下一次减半周期几个极值（最低价、减半价、最高价）和对应的时间范围进行了一些推测。
引言
比特币神话般的价格涨幅，一直是投资界引人入胜的故事。那么，比特币早期价格是怎样的呢？本文第一部分简要回顾了一些btc交易的早期历史。
在做出比特币历史对数价格曲线后，忍不住会有对它进行回归建模的冲动，本文第二部分即尝试了这方面的工作。
4年的减半周期，对比特币价格有很重大的影响，这似乎成了加密投资圈的共识。那么，减半是否有某些定量的规律呢？本文第三部分分析了过去3次减半，汇总了一些重要的统计值，归纳出了一些规律。
在得出了历史减半规律后，本文第四部分对两个重要的极值进行了建模。
有了价格拟合模型、减半规律以及极值模型后，本文在第五部分对即将到来的新减半周期进行一些合理的推测，推算了下一轮减半周期的几个重要价格及对应的大致时间情况。
当然，限于样本量少及其他随机因素，本文只是对可能存在的一些规律的简单猜测，动机仅为了好玩，不构成投资建议。
比特币早期价格
本文先从比特币交易价格说起。
比特币诞生于2009-01-03，已知最早的价格，是由比特币第二位开发者Martti Malmi（网名Sirius）在2009-10-12发起的，他用5050个比特币换到了\(\$5.02\)，每个比特币价格约为\(\$0.000994\)，不足十分之一美分。可以参见推特（Martti Malmi发起第一笔比特币兑美元交易），对应的区块链交易记录（首个价格交易记录）。
不过这个事件知道的人不太多，更广为人知的是比特币披萨事件。
2010-05-18，美国弗罗里达州的程序员Laszlo Hanyecz在比特币论坛上发布了一篇名为Pizza for bitcoins?的帖子，他想用1万个比特币购买价值约25美元的2个披萨，折合每个比特币\(\$0.0025\)。经过4天多的时间，他证实了该交易已经顺利完成。这是人们第一次可以用比特币购买真实商品，这个事件被比特币爱好者纪念，从此每年的5月22日成为“比特币披萨节”。
其实在比特币披萨事件之前，已经有了一个名为bitcoinmarket.com的比特币交易网站。
该网站由dwdollar开发建立，参见比特币论坛相关帖子。2010-03-16，该网站开始用真实的美元交易比特币，dwdollar将比特币的初始价格定在\(\$0.0067/BC\)。次日（2010-03-17）正式上线，有4人开始在线交易比特币，开始交易的价格大概为\(\$0.003\)。该网站主要利用PayPal进行交易，由于欺诈的盛行，Paypal于2011-06-04停止了对bitcoinmarket的支持，导致了用户转向其他交易所，其中最著名的就是Mt.Gox，该网站于2010-07-18出现在比特币论坛，见此处。
关于早期价格的情况不太好追溯，好在coinmarketcap上收录了自2010-07-13日以来的比特币价格数据，本篇文章的讨论便是基于这些数据进行。
本文重点讨论的是比特币的价格及周期，首先讨论比特币价格的某种可能回归。
说明：本文数据截止到2023-09-24日。
比特币的价格模型
对数价格与对数供给量
比特币价格的波动范围很大，为了直观全面的观察其趋势，可以采用对数价格作图，如下：
直观上，比特币对数价格似乎符合某种函数的拟合。比特币彩虹图就是比特币对数价格与上线天数的某种回归。
比特币先后经历了3次减半，分别是2012-11-28、2016-07-09、2020-05-11。据预测，下一次减半日期大概在2024-04-16。
比特币每次减半之后，每个区块的产量会减半，最终比特币的数量约为21,000,000（实际略少于此值）。比特币历史总产量对数图如下：
由上图可见，比特币的对数价格与对数总供给量之间具有相似的趋势，可以猜测比特币对数价格（\(logP\)）是对数总供给量（\(logS\)）的某种可解析函数。
对数供给量多项式模型
本文在拟合前，有一个期望的极限，即：
如比特币最终趋于稳定，并取代了美元成为本位币。则按照目前美元m2总量约20.9万亿折算，比特币的价格将接近100万美元/BTC。
符合上述预期的拟合才是合理的。
由于可解析函数可以进行泰勒展开，故可用\(logS\)的多项式展开来拟合\(logP\)： \[\begin{equation}\label{eq1} logP=\sum_{i=0}^{n}\alpha_i(logS)^i \end{equation}\] 其中n为多项式的最高阶，是待定参数。毫无疑问随着n的增大，可以拟合得越好，本文假定n为较小的整数（10以内）。
n=1的拟合情况如下：
可见拟合的效果很好，\(R^2\)达到0.91，其中\(R^2\)的定义如下： \[\begin{equation}\label{eq2} R^2=1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}} \end{equation}\]
\[\begin{equation}\label{eq3} SS_{tot}=\sum_i(y_i-\bar{y})^2 \end{equation}\]
\[\begin{equation}\label{eq4} SS_{res}=\sum_i(y_i-f_i)^2 \end{equation}\]
\(f_i\)为函数拟合的相应值。
由上图可知，一阶拟合下的回归关系为： \[\begin{equation}\label{eq5} logP=-131.5+8.4*logS \end{equation}\] 如果比特币对数价格与对数供给量符合上述的1阶拟合，则根据拟合，最终比特币价格约为\(\$26,974.33\)，这似乎不让人满意。
n=2的拟合如下：
\(R^2\)高达0.94，拟合结果如下： \[\begin{equation}\label{eq6} \begin{aligned} logP=&750.85-101.07*logS+\\&3.39*logS^2 \end{aligned} \end{equation}\]
如果2阶拟合满足，则比特币最终价格约为\(\$70,070.92\)。
n=3时，拟合效果如下：
\(R^2\)为0.95，此时的拟合关系为： \[\begin{equation}\label{eq7} \begin{aligned} logP=&-16643.2+3153.22*logS-\\&199.43*logS^2+4.21*logS^3 \end{aligned} \end{equation}\]
3阶的比特币最终预测价格为\(\$151,235.78\)。
可见参数越多，\(R^2\)越高，拟合效果越好，但也越可能是过拟合。
尝试到6阶，发现这种情况下的比特币最终价格预测最高，为\(\$954,987.44\)，接近1百万美元。如果比特币能够替换美元的地位，其理论价格应该差不多为1百万美元。
6阶拟合的曲线如下：
上图中的拟合公式如下： \[\begin{equation}\label{eq8} \begin{aligned} logP=&26.27*logS^6-2.52e3*logS^5+\\&1.0e5*logS^4-2.14e6*logS^3+\\&2.56e7*logS^2-1.63e8*logS+\\&4.34e8 \end{aligned} \end{equation}\]
其中系数采用了科学记数法，\(1.0e5\)代表\(1.0\times10^5\)。采用6阶拟合，我们可以做出未来的价格预期曲线，如下：
由上述拟合可见，目前比特币还处在较早期的阶段，其价格尚未到达趋于稳定的时候。大约在2042年之后，比特币价格会开始逐渐趋于稳定。
需要指出的是：
- 影响比特币价格的因素可能有很多，本文只是对其中可能的一种进行了回归分析，可能有失偏颇；
- 多项式拟合的参数会对样本很敏感，随着未来价格的大幅变大或变小，再次拟合的曲线肯定会相应的变化。
值得一提的是，按照对数供给量的多项式拟合，随着时间推移，比特币的供给量会趋于定值（具体为自2140年后不再减半），从而价格也会趋于某个定值。这与比特币创始的初衷相吻合，即按照当前价值不变的美元（实质上就是总美元M2量限定在约20万亿水平上）计算，最终比特币的价格会收敛，正如比特币的热爱者预期该价格会收敛于1百万美元/BTC那样。
之前的模型，如彩虹图所预言的价格（或对数价格）会以某种形式单调增长、直至永远，又如planB的S2F预言的每轮减半价格涨幅约10倍。这些理论，均认为比特币价格会近乎无限上涨，显然与实际情况有悖。
本文与他们的结论不同，按照本文的拟合，比特币按当前美元价值计算，是存在极限价格的。
由于比特币的总供给量随着时间推移基本上是确定的，上述回归自然是对未来价格的一种预测。
更详细的推测需要参考重要的时间节点及牛熊涨跌幅等规律，故本文接下来分析比特币减半周期，再进行价格区间及时间跨度相关的推测。
比特币周期
为了划分出减半周期的阶段，需要先观察价格在逐年的表现，再根据表现划分出牛熊周期。
逐年走势
注：本小节只是想从价格逐年走势图分析牛熊大致区间，读者可以选择跳过，不影响后续阅读。后续需要对照行情可参考此节。
每3年汇在一张图中，做出逐年的价格走势及基本统计指标，如下：
2010.7.13--2012.12.31价格走势：
注意上图中左上第一张为全3年时间段的价格走势，后续3张为逐年走势，下同。
2013.01.01-2015.12.31价格走势：
2016.01.01-2018.12.31价格走势：
2019.01.01-2021.12.31走势：
2022.01.01-2023.09.16走势：
减半对应的牛熊周期一般需要经历完整的盘整 -> 启动 -> 牛市 -> 崩盘 -> 熊市 -> 盘整过程。依照大约4年的周期，比特币历史减半周期大致可如下划分：
- 2010.07.13 - 2015.05.01，对应2012.11.28日第一次减半的行情；
- 2015.01.01 - 2019.05.01，对应2016.07.09日第二次减半的行情；
- 2018.11.01 - 2023.03.01，对应2020.05.11日第三次减半的行情；
- 2022.10.01 - 今，对应约2024.04.16日第四次减半的行情，持续时间未知。
上述划分有重叠，是为了观察牛市启动前的最低价前和本轮周期最大回撤后的情况。
当然，上述划分不一定合理，毕竟23年之后的行情还没结束。
减半周期
四轮减半周期走势情况
有了上面的划分，可以对应的做出每轮减半走势的图。
2010.07.13 - 2015.05.01第一轮走势：
注意：上图中的最大回撤出现在减半之前，不是后续讨论的减半后最大回撤。
2015.01.01 - 2019.05.01第二轮走势：
2018.11.01 - 2023.03.01第三轮走势：
2022.10.01 - 今第四轮走势：
减半周期规律总结
本文定义如下一些概念：
- 行情启动：上一轮回撤的最低价格为行情启动价，该日为行情启动日，第一次减半也采用减半前的最大回撤作为行情启动点；
- 最高涨幅：本轮减半之后的最高价与行情启动价之比；
- 盘整期：在上一轮牛市结束后的最低价到本轮减半的最高价之间，持续时间最长的回视最高价（阻力位）对应的时间段；
- 牛市：衡量的为减半行情中的牛市，定义为盘整期结束到本轮最高价之间的时间段，类似2011年的上涨不在本定义内；
- 熊市：衡量的减半行情后的熊市，定义为本轮减半后，最高价到最大回撤之间的时间段；
- 最大回撤：指的是本轮减半后的最大回撤，即从减半后最高价到最低价的跌幅。
可以总结每轮牛熊的统计值，如下表：
各减半周期统计总结表
| 第一轮减半 | 第二轮减半 | 第三轮减半 | 第四轮减半 | |
|---|---|---|---|---|
| 减半日 | 2012-11-28 | 2016-07-09 | 2020-05-11 | 2024-04-16 |
| 减半价 | 12.377 | 650.96 | 8601.796 | nan |
| 减半预测价 | 33.736 | 1399.326 | 12895.33 | 76458.321 |
| 减半预测真实价格比 | 2.726 | 2.15 | 1.499 | nan |
| 行情启动日 | 2011-11-18 | 2015-01-14 | 2018-12-15 | 2022-11-21 |
| 启动时距减半天数 | 376 | 542 | 513 | 512 |
| 启动价格 | 2.051 | 178.103 | 3236.762 | 15787.284 |
| 盘整开始日 | 2011-12-05 | 2016-06-04 | 2019-05-14 | NaT |
| 盘整结束日 | 2012-06-29 | 2016-11-19 | 2020-09-10 | NaT |
| 盘整最高价 | 228.199 | 766.308 | 13016.232 | nan |
| 最高价格日 | 2013-12-04 | 2017-12-16 | 2021-11-08 | NaT |
| 最高价格 | 1151.17 | 19497.4 | 67566.83 | nan |
| 最高涨幅 | 561.261 | 109.473 | 20.875 | nan |
| 最大回撤日 | 2015-01-14 | 2018-12-15 | 2022-11-21 | NaT |
| 最大回撤价 | 178.103 | 3236.762 | 15787.284 | nan |
| 最大回撤 | -0.845 | -0.834 | -0.766 | nan |
| 启动到盘整结束天数 | 224 | 675 | 635 | nan |
| 启动到最高价天数 | 747 | 1067 | 1059 | nan |
| 盘整结束距减半天数 | -152 | 133 | 122 | nan |
| 盘整持续天数 | 207 | 168 | 485 | nan |
| 牛市持续天数 | 523 | 392 | 424 | nan |
| 熊市持续天数 | 406 | 364 | 378 | nan |
关于上表的一些说明：
- 第四轮周期尚在进行中，没有完结，故数据有空缺。
- 减半预测值是根据第二部分的6阶模拟值计算所得，历史已发生的减半日价格低于该值。
从上表中可见如下有意思的结论（主要考虑最近两次已完成的减半周期）：
- 行情在减半前1年半（500多天）左右启动；
- 每轮减半的最高涨幅呈衰减的特点；
- 减半价格与预测价之间的差异越来越小；
- 每轮最大回撤呈现出变小的趋势；
- 从行情启动到减半后的最高值大约需要1000天（近3年）左右；
- 行情启动到盘整结束需要600天左右；
- 最近两次减半，盘整结束于减半后约4个月之后；
- 牛市持续时间在1年以上；
- 熊市大约持续1年左右；
- 盘整持续时间至少在半年左右，可以长达1年以上。
如上总结，比特币每轮周期都有很多相似的行情规律，且每轮的最高最低比、最大回撤均呈现减小趋势。不过，也需要指出的是，牛熊的划分方法有主观性、可以有很多种，周期本身也带有主观性。
比特币波动性在减小
为了验证比特币波动性确实是呈下降趋势的，可以做出比特币90日滚动年化波动率时序图，如下：
从上图可见，若按照减半周期来看，比特币的波动是呈减小趋势的，这与Nassim Taleb所质疑的比特币波动性没有变小的结论不同（参见此处）。由此分析，我们可以合理的假定比特币价格最终会趋于稳定。
上图还有一个有意思的现象：比特币90日滚动年化波动率多次下降到0.23附近的位置，随着时间的推移，波动率纵然有所下降，但似乎始终没有低于此值。附带一提，0.23的年化波动率水平是低于大多数股票波动率的。
减半行情的极值建模
上一小节总结了一些减半的规律，本节将对减半的两个极值（最高涨幅、最大回撤）进行分析。
当然，我们还可以对减半日价格、每轮周期的最高价、最低价进行建模。
但是，最高价与最低价实际上是可以用历史价格、最高涨幅和最大回撤递推；随着减半次数的增加，第二部分预测的价格与减半价格之间的差距缩小，可以用其（对数总供给量6阶拟合函数）对减半价进行预测。
故而，本小节只讨论2个极值。
最高涨幅拟合
中文比特币社区著名的九神（ahr999），曾撰写过《囤比特币》系列文章，在其“囤比特币：你离财富自由还有多远？”一章中，提出一个很有意思的假设，即比特币每轮减半增长倍数呈线性或“指数递减”方式变化。
如减半周期与最高涨幅之间呈线性关系，则应满足如下关系： \[\begin{equation}\label{eq9} h_n=a+b*n \end{equation}\] 其中h代表本轮减半行情的最高涨幅，n=1, 2, 3, ..., 33为减半周期数，下同。
历史上发生过的3次减半行情最高涨幅与周期的线性拟合如下：
上图中x轴被替换成了日期，因为每个减半周期对应唯一的日期。虽然上图中的\(R^2\)较好，因为样本太少，很难说周期与涨幅是否符合线性关系。
如认可比特币2140年之后趋于稳定，则减半周期与减半行情最高涨幅的线性拟合如下：
可见此时线性拟合不是很合适。
下面考虑最高涨幅与周期呈指数衰减关系，即： \[\begin{equation}\label{eq10} h_n=a+b*e^{-c*n} \end{equation}\] 拟合效果如下：
图中的x轴也从周期被替换成了日期，这样方便对照日期。
上图\(R^2\)接近1的原因在于：
- 样本太少，3参数的指数衰减可以很好的拟合4个最高涨幅；
- 样本的量级差异很大，作为分子的样本方差远远大于拟合值与真实值偏差的方差。
指数衰减拟合结果显示，比特币价格趋于稳定后，最高涨幅小于1，这不合理，主要原因是样本太少。
为了避免量级引起的误判，可采用对数最高涨幅拟合。对数最高涨幅与减半周期的线性回归关系如下： \[\begin{equation}\label{eq11} ln(h_n)=a+b*n \end{equation}\] 这一拟合的结果如下：
可见对数涨幅与周期之间的线性拟合的效果有所下降。由上图，直观感觉对数最高涨幅是随着周期增大指数衰减的，即有如下关系： \[\begin{equation}\label{eq12} ln(h_n)=a+b*e^{-c*n} \end{equation}\] 拟合效果如下：
可见这一拟合效果非常好，不过原因也是用了3个参数来模拟4个样本。该拟合是否符合实际，有待未来的行情进行验证。
如将周期改为对数周期，进行如下关系的拟合： \[\begin{equation}\label{eq13} ln(h_n)=a+b*ln(n) \end{equation}\] 拟合结果如下：
可见对数最高涨幅与对数周期之间的线性回归效果很好，在压低了量级影响后，线性关系（2参数拟合4个样本）仍然很显著。
上述\(\eqref{eq11}\)和\(\eqref{eq12}\)的拟合都可以作为减半周期最高涨幅的模型，第四部分中我们选定对数最高涨幅与周期呈指数衰减的\(\eqref{eq12}\)模型进行讨论。
下面拟合每轮周期的最大回撤。
最大回撤拟合
仍然假定比特币价格最终会趋于稳定，即2140年之后的最大回撤接近1。
做出周期-最大回撤（绝对值）的附带线性回归的散点图，如下：
可见2参数的最大回撤线性拟合效果很好，我们可以将其作为最大回撤的拟合模型，即： \[\begin{equation}\label{eq14} mdd_n=0.87-0.026*n \end{equation}\]
如上式，预期减半周期的最大回撤线性减小，每一轮比上一轮减小0.026。
当然，随着未来样本量的增加，可进一步拟合模型参数，或更换其他函数进行拟合。
关于下一次减半的推测
我们在上面第2部分详细讨论了价格模型，并采用\(\eqref{eq8}\)进行价格模拟，在第4部分利用了第3部分总结的减半规律建立了极值模型\(\eqref{eq12}\)和\(\eqref{eq14}\)，有了这些模型基础，我们可以顺理成章的对接下来的减半周期进行推理。
由于已经发生的减半次数过少，本文的模型不可能太精确。故本节仅粗略的预测下一轮减半日的价格、减半后的最高价、最高价后出现最大回撤的价格等。
在本节的叙述中会对下一轮减半周期的过程进行部分推测性描述。
减半日价格预测
由于过去3次减半日的价格均低于预测价格，且预测价与实际价的比值呈减小趋势，最近的预测真实价格比为1.499，故可根据\(\eqref{eq8}\)推测下次减半日（2024-04-16左右），价格会高于76,458.321/1.499，低于76,458.321，即： \[\begin{equation}\label{eq15} P_{2024-04-16}\in[51006.21, 76458.321] \end{equation}\]
这是纯粹按照上述逻辑预测的结果，当然这个预测值可能会有很大的误差，因为这一结论的得出有如下几个前提：
- 价格模型在一定时间内符合真实情况，且下一轮减半日的随机效应不太大、不至于抵消掉价格模型预期的减半上涨；
- 预测值略高于真实值的效应仍然存在，不至于反转，且预测、真实价之比仍然呈减小趋势。
减半后最高价格预测
我们采用\(\eqref{eq12}\)进行最高涨幅的预测。
由于每轮减半的行情启动均出现在减半前510天上下，故基本可以确定2024年减半行情已经于2022-11-21日左右启动了，启动价格为\(\$15,787.284\)。
按照最高涨幅模型，下次减半的最高涨幅将达到9.33倍左右，从而最高涨幅对应的减半行情最高价在\(\$147,295.36\)左右。
之前的减半行情启动到最高价约1050天来估计，最高价格出现在2025-10-06前后，据6阶模型预估2025-10-06日价格在\(\$114,395\)左右。
过去盘整结束与行情启动间隔的天数大约在600天上下，按此规律，盘整结束的日期大约在2024-07-13左右。或者以减半后4个月（120天）来估计，大概在2024-08-14左右，盘整结束，正式进入牛市，并持续一年左右。
减半后最大回撤预测
按照最大回撤线性模型\(\eqref{eq14}\)，我们预期下次减半行情冲高后的最大回撤大约为0.763左右。
照以往规律，最大回撤距离最高价日期大概在1年（365天）左右，如最高价（\(\$147,295.36\)）出现在2025-10-06前后，则下次减半后比特币经过1年多的上涨，最终价格会持续约1年左右的下跌，跌幅76.3%左右、价格下跌到\(\$34,909\)左右，日期约在2026-10-06日前后。
至此，比特币的第4轮减半行情结束，开始新的一轮周期。
致谢
本文篇幅有些长，非常感谢你能耐心阅读到此。
希望本文能或多或少对你有一些帮助，不至于辜负你认真的思考与耐心的探索。
需要再次指出的是，本文中涉及的内容只是对未来的一种猜测，仅作参考，不构成投资建议，望读者自行斟酌。
谢谢阅读！