利用比特币均衡价格模型进行未来价格预测

发表于 2024-12-31 更新于 2025-01-06 分类于投资阅读次数：

本文利用最近提出的比特币均衡价格模型（参见此处），结合对未来难度、产量、残差等变量的建模，对比特币未来均衡价格进行预测，并通过生成随机数残差差分对未来价格进行模拟。

限于能力，本文只对未来一个周期的行情进行预测。

自变量建模

本文用参考文章的公式（11）来对均衡价格进行预测，原式是一个截面模型，加上残差项后、该公式在时序上可表述如下：

\[\begin{equation} \label{eq01} \begin{aligned} log(P_t)=&2.65+2.2e(-4)*t \\ &+0.36*log(d_t) \\ &+0.7*log(\Delta t/\Delta S_t) \\ &+\epsilon_t \end{aligned} \end{equation}\]

若是想要获得$log(P_t)$的值，需要对$log(d_t)$、$log(\Delta t/\Delta S_t)$甚至$\epsilon_t$进行建模。

标注了减半日的模型拟合效果如下：

我们首先分析$log(d_t)$的特征。

由于每次减半后产量减少，可以猜测难度遵循的规律会因为减半周期不同而不同。标注出减半日的对数难度图如下：

由上图可见，在较早的减半周期，对数难度变化的斜率较大、越往后斜率越小。特征如下：

第一次减半（对应2009.01.09-2012.11.28），对数难度先经历快速上升、后下跌、然后平稳上升直到减半日；
第二次减半（对应2012.11.28-2016.07.09），对数难度与第一次减半一样，也是先快速上升，后趋于平稳，然后继续上升直到减半日；
第三次减半（对应2016.07.09-2020.5.11），对数难度先呈线性增长，经过短期下跌，然后以新的斜率线性增长；
第四次减半（对应2020.05.11-2024.04.20），对数难度先呈线性增长，经过短期下跌，然后以新的斜率线性增长，新旧斜率相差不大。

如上，我们可以简单的假设第五次减半周期内（2024.04.20-约2028.03.26）对数难度以线性增长，斜率由最近的数据线性回归定出。当然，需要指出对数难度本身是一个具有随机性的数，会随着价格的上涨下跌而调整。模型只是在对其未来的可能性作简单的模拟。

作出最近一段时间的对数难度与BTC上线天数的回归图，如下：

如上图所示，我们可以如下预估未来一段时间的对数难度： \[\begin{equation} \label{eq02} log(d_t)=24.08+0.0014*t \end{equation}\] 接着，作出标注了减半日的产量相关项图，如下：

可见在一个减半周期内，该值大体上是在均值上下震荡，作出2024-04-20之后的数据、并画出了均值（均值为-6.16）的时序图，如下：

同时，还可作出产量相关项数值与比特币上线天数之间的回归图，以验证用均值来拟合这一项是否合理，如下：

可见回归系数接近于0、且非常不显著（为0的概率很大），故可认为该项是在均值附近的白噪声。其统计情况如下：

count    244.00
mean      -6.16
std        0.09
min       -6.44
25%       -6.22
50%       -6.16
75%       -6.10
max       -5.93

可见$log(\Delta t/\Delta S_t)$服从如下分布：

\[\begin{equation} \label{eq03-1} log(\Delta t/\Delta S_t)\sim N(-6.16,0.09) \end{equation}\]

估计对数均衡价格时、只需要用期望值即可： \[\begin{equation} \label{eq03} log(\Delta t/\Delta S_t)=-6.16 \end{equation}\]

但在进行价格模拟时，该项相较于期望值的随机变化（该变化服从$N(0,0.09)$分布）、也会对价格波动范围产生影响、可以考虑进去。

至此，价格模型只剩下残差项了。该项具有随机性，在每个减半周期内呈现出一定的周期变化，波动范围呈现出减小的趋势。我们先对各减半周期的残差进行统计分析，统计汇总表如下：

         周期1    周期2     周期3     周期4    周期5
count  869.00  1319.00  1402.00  1440.00  255.00
mean    -0.22     0.19    -0.13     0.10   -0.09
std      0.77     0.98     0.60     0.52    0.18
min     -2.24    -1.10    -1.21    -0.79   -0.46
25%     -0.83    -0.73    -0.61    -0.32   -0.23
50%     -0.20    -0.15    -0.15    -0.03   -0.12
75%      0.29     1.08     0.22     0.52    0.04
max      2.33     2.64     1.86     1.23    0.31

上表除了周期5是未完成周期之外，其余均为已完结周期。没有明显规律，不能直接用上表对周期5的残差建模，但是可以利用上表统计结果、对残差模拟值进行过滤。对不符合上表中均值、标准差的残差随机数进行过滤。即，符合预期的残差大概应该满足如下条件： \[\begin{equation} \label{eq04} \begin{cases} |\overline{\epsilon_t}|<0.013, \\ std(\epsilon_t)<0.5 \end{cases} \end{equation}\] 为了找到残差的规律，我们先计算残差差分值，如下： \[\begin{equation} \label{eq05} \Delta \epsilon_t=\epsilon_t-\epsilon_{t-1} \end{equation}\] 即用当前时刻的残差减去上一个时刻的残差，所得残差差分时序图如下：

由上图可见全时序的残差差分具有非常平稳的特征，可以将其推广到未完结的周期5。上图残差差分的统计值如下：

count    5284.0000
mean        0.0001
std         0.0953
min        -0.9808
25%        -0.0595
50%         0.0006
75%         0.0603
max         0.4483

可见均值非常接近0、标准差为0.0953，这意味着我们的残差差分值服从如下正态分布： \[\begin{equation} \label{eq06} \Delta \epsilon_t \sim N(0.0001,0.0953) \end{equation}\] 利用上述正态分布生成$\Delta \epsilon_t$后累加、可以得到任意时刻的残差模拟值。

或许有朋友会质疑，资产价格等数据在进行对数差分后、是不是都会变成与上图类似的平稳时间序列图。即如果我们直接计算比特币的对数价格差（也称为对数收益率），是否也会得到如上图所示的平稳时间序列？如果这样，那模型的意义就值得怀疑了。

为了进一步说明模型的意义，作出对数价格差的时序图，如下：

可见，对数价格差时序图明显不如残差差分时序图平稳，这意味着BTC对数价格中是存在额外信息的。通过上文所述模型，最后可以获得更好的近乎白噪声的残差差分值，说明蕴含潜在规律的信息被很大程度的包含进了模型之中。

至此，已经得到了可以对第5个减半周期价格预测和模拟的所有自变量模型。

价格预测与模拟

首先，我们考虑没有残差项的模型价格，这反映的是比特币未来一个周期的均衡价格。对数价格的效果如下：

将y轴转换为原始价格（单位USD）后的预测效果如下：

如上可见，在下次减半时、对自变量建模后的均衡价格预测值达到$\$193,125$左右，目前（2024-12-30）的均衡价格在$\$80,630$左右。

值的指出的是：

上述预测价格受到难度模型$\eqref{eq02}$的影响，该模型忽略了因未来难度波动而偏离线性模型的可能性，且该线性回归过程包含了大量上一减半周期的数据（对应2022.01.01-2024.04.20之间的数据），这部分数据可能会影响减半（2024.04.20）后的线性回归效果，从而产生预测误差；
在对产量相关项（$log(\Delta t/\Delta S_t)$）建模时，将该项的随机波动成分忽略、直接采用的减半后均值来进行预估，这也可能带来预测误差；
目前所得的均衡价格模型参数是通过全量数据回归所得，随着未来行情波动，该回归系数难免会失真，这也必然会导致预测出现偏差。

最后，将残差项及产量项随机性加入，仍采用上面的自变量模型、来模拟有随机涨落的未来价格。

我们分别生成服从$N(0.0001,0.0953)$和$N(0, 0.09)$、长度为1182（对应预测天数）的两列随机数序列，第一列随机数累加后的残差模拟值序列需要满足条件$\eqref{eq04}$。得到符合预期的残差序列后，将两列随机数与模型其他自变量估计值叠加，即可得到未来价格的模拟值。

某一次随机模拟的效果如下：

由以上模拟可见，虽然均衡价格在$\$193,125$以下，但由于随机项的影响，价格可能会在未来一个周期内上涨至30万美元以上。

不过，该模拟结果会因为每次生成的随机数序列不同而不同，只可用于生成、展示符合模型预期的BTC随机价格、不能直接用于预测价格。

总结

本文首先对BTC均衡价格模型进行了自变量建模，进而利用自变量模型、对未来一个周期的均衡价格进行了预测，最后叠加残差等随机项、进行了符合模型预期的BTC未来价格随机模拟。

声明

本文所有观点或结论只作为研究成果展示，不作为投资建议，望读者自行斟酌！